[DSP] CTFT와 DTFT의 관계

아래의 impulse train은 continuous signal이지만 T 간격으로 값을 가지기 때문에 다른 signal에 곱해주면 T주기로 sampling된 discrete signal을 얻어낼 수 있습니다. 이를 이용해서 CTFT와 DTFT의 관계를 정리해보도록 하겠습니다.

 

[Impulse train]

$s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-n T)$

 

[Impulse train과 signal을 곱해 discrete signal로 sampling (여전히 continuous signal이라고 간주)]

$x_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_c(n T) \delta(t-n T)$

Impulse train (왼) Impulse train을 continuous signal에 곱해 discrete signal로 표현한 모습 (오)

 

Time-domain에서의 multiplication는 frequency-domain에서 convolution과 같다는 특성이 있습니다. (CTFT / DTFT의 property) 그렇기 때문에 time domain에서 signal $x(t)$와 impulse train $s(t)$의 multiplication을 CTFT한 것은 각각의 signal을 CTFT해준 후에 convolution해준 것과 같습니다.

$x_s(t)=x_c(t)s(t)\leftrightarrow X_s(j \Omega)=\frac{1}{2 \pi}X_c(j\Omega)*S(j\Omega)$

 

[Inverse train의 CTFT]

$s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-n T) \leftrightarrow S(j \Omega)=\frac{2 \pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\left(j\left(\Omega-k \Omega_S\right)\right)$  $(where,  \Omega_S=\frac{2 \pi}{T})$

 

따라서 sampling된 signal $x_s(t)$의 CTFT 결과는 아래와 같습니다.

$X_s(j \Omega)=\frac{1}{2 \pi}X_c(j\Omega)*S(j\Omega)= \frac{1}{2 \pi}X_c(j\Omega)* \frac{2 \pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\left(j\left(\Omega-k \Omega_S\right)\right)$

 

식을 보면 $\frac{1}{T}$로 scaling된 $X_c(j\Omega)$ $\Omega_s$ 간격으로 반복된다는 것을 알 수 있는데, 잘 와닿지 않기 때문에 그림으로도 확인해보도록 합시다.

continous signal x(t)의 CTFT 결과

Impulse train을 CTFT한 결과

 

time domain에서 signal $x(t)$와 impulse train $s(t)$의 multiplication을 CTFT한 것은 각각의 signal을 CTFT해준 후에 convolution해준 것과 같기 때문에 $X_c(j\Omega)$는 아래와 같이 나오게 됩니다.

즉 DTFT는 CTFT를 $\frac{1}{T}$만큼 scaling 해준 뒤에 일정한 간격 $\Omega_0=\frac{2 \pi}{T}$ 으로 반복한 것과 같습니다.